Bài 1: a)

Xét $\Delta EBC$ và $\Delta DCB$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} \widehat{EBC}=\widehat{DCB}\text{ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ )}\\ BC \text{ (chung)}\\\widehat{ECB}=\widehat{DBC}(=\dfrac{1}{2}\widehat C=\dfrac{1}{2}\widehat B) \end{array} \right .$

$\Rightarrow \Delta EBC=\Delta DCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow EC=BD$ Tứ giác $BEDC$ có hai đường chéo bằng nhau $EC=BD$ nên tứ giác $BEDC$ là hình thang và có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau $\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ $\Rightarrow $ tứ giác $BEDC$ là hình thang cân.

b) Tứ giác $BEDC$ là hình thang cân

$\rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (so le trong)

mà $\widehat{DBC}=\widehat{EBD}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{EDB}=\widehat{EBD}$

$\Rightarrow \Delta EBD$ cân đỉnh $E$

$\Rightarrow EB=ED$ mà $EB=ED$ (tứ giác $EDCB$ là hình thang cân)

$\Rightarrow EB=ED=DC$ (đpcm).

c) $I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow AI\bot BC$ (1)

$\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ có $O$ là giao của hai đường phân giác của hai góc bên

$\Rightarrow AO$ là đường phân giác của góc $\widehat A$

$\Rightarrow AO$ cũng là đường cao

$\Rightarrow AO\bot BC$. (2)

$\widehat{AED}=\widehat{ABC}$ (đồng vị) và $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$ (đồng vị) $\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ADE}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

$\Delta AED$ cân đỉnh $A$ có $J$ là trung điểm của $ED$ suy ra $AJ$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow AJ\bot ED$

$\Rightarrow AJ\bot BC(BC\parallel ED)$ (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra $AI;AO;AJ$ cùng vuông góc với $BC$

Suy ra $A,I,O,J$ thẳng hàng.

Bài 2:

Dựng tia phân giác $\widehat A$ và tia phân giác của $\widehat B$, 2 tia cắt nhau tại $F$

Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=AD\Rightarrow BE=BC$ (do $BC+AD=AB$)

Xét $\Delta ABE$ cân tại $A$ có $AF$ là tia phân giác của $\widehat A\Rightarrow AF$ cũng là đường cao suy ra $AF\bot ED$

Gọi $AF\cap DE=G\Rightarrow \widehat {EGF}=90^o$

Tương tự $\Delta BCE$ cân đỉnh $B$ có phân giác $BF$ nên $BF$ cũng là đường cao

suy ra $\widehat{EHF}=90^o$ $(H=CE\cap BF)$

$\Delta ABF$ có $\widehat{AFB}=180^o-(\widehat{BAF}+\widehat{ABF})=180^o-\dfrac{1}{2}(\widehat A+\widehat B)=180^o-\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\Rightarrow $ tứ giáp $EGFH$ là hình chữ nhật vì có $\widehat G=\widehat F=\widehat H$

$\Rightarrow \widehat {DEC}=90^o$ (1)

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ADF$ có:

$AE=AD$

$\widehat {EAF}=\widehat{DAF}$

$AF$ chung

$\Rightarrow \Delta AEF$ và $\Delta ADF$ (c.g.c)

$\Rightarrow FD=FE$

Chứng minh tương tự $FC=FE$

Từ 2 điều trên $\Rightarrow FD=FC=EF$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\Delta DEC\bot E$ có $ FD=FC=EF$ nên $EF$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow F$ là trung điểm của $CD$ (đpcm)