Đáp án:

\(X = \left(\matrix{65&0&85\\ 0&5&95\\ 0&145&0\\ 75&0&0} \right);\ f_{\min} = 3260\)

và lượng hàng còn lại không phát hết là $25$ ở trạm phát $4$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180\\\hline
150&5&4&6\\\hline
100&8&5&9\\\hline
145&11&6&12\\\hline
100&9&7&13\\\hline
\end{array}\\
\text{Ta có:}\\
\displaystyle\sum\ \text{Thu} = 140 + 150 + 180 = 470\\
\displaystyle\sum\ \text{Phát} = 150 + 100 +145 +100 = 495\\
\text{Do}\ \displaystyle\sum\ \text{Thu} < \displaystyle\sum\ \text{Phát}\\
\text{nên lập thêm trạm thu giả với lượng hàng là 25}\\
\text{Bài toán vận tải mới:}\\
\begin{array}{|c|c|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&5&4&6&0\\\hline
100&8&5&9&0\\\hline
145&11&6&12&0\\\hline
100&9&7&13&0\\\hline
\end{array}\\
\text{Phương án cơ bản xuất phát:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5&^4\ \ _{150}&^6&^0\\\hline
100&^8\ \ _{100}&^5&^9&^0\\\hline
145&^{11}&^6&^{12}\ \ _{145}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{40}&^7&^{13}\ \ _{35}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\Rightarrow \text{Số ô chọn}\ = 6 < m + n - 1\\
\Rightarrow \text{Phương án cơ bản xuất phát suy biến}\\
\Rightarrow \text{Ô bổ sung là (1,1) do không tạo vòng}\\
\text{Qui 0 cước phí ô chọn:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|l|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25&u_i\\\hline
150&^5\ \ \ _0&^4\ \ _{150}&^6&^0&0\\\hline
100&^8\ \ _{100}&^5&^9&^0&3\\\hline
145&^{11}&^6&^{12}\ \ _{145}&^0&3\\\hline
100&^9\ \ _{40}&^7&^{13}\ \ _{35}&^0\ \ _{25}&4\\\hline
v_j&5&4&9&-4\\\hline
\end{array}\\
\text{Kiểm tra phương án:}\\
\Delta_{11} = 0;\ \Delta_{12} =0;\ \Delta_{13} = 3;\ \Delta_{14} = -4\\
\Delta_{21} = 0;\ \Delta_{22} =2;\ \Delta_{23} = 3;\ \Delta_{24} = -1\\
\Delta_{31} = -3;\ \Delta_{32} =1;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = -1\\
\Delta_{41} = 0;\ \Delta_{42} =1;\ \Delta_{43} = 0;\ \Delta_{44} = 0\\
\Rightarrow\text{Phương án chưa tối ưu}\\
\Rightarrow\text{Ô bổ sung là (2,3) do $\Delta_{23} = 3 >0$ lớn nhất}\\
\text{Xác định vòng và lượng điều chỉnh:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ \ _0&^4\ \ _{150}&^6&^0\\\hline
100&^{8\ \color{Red}{-}}\ \ _{100}&^5&^{9\ \color{Red}{+}}&^0\\\hline
145&^{11}&^6&^{12}\ \ _{145}&^0\\\hline
100&^{9\ \color{Red}{+}}\ \ _{40}&^7&^{13\ \color{Red}{-}}\ \ _{35}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Lượng điều chỉnh $q = 35$, ô bị loại là (4,3)}\\
\text{Phương án cơ bản mới:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ \ _0&^4\ \ _{150}&^6&^0\\\hline
100&^8\ \ _{65}&^5&^9\ \ \ \ _{35}&^0\\\hline
145&^{11}&^6&^{12}\ \ _{145}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Qui 0 cước phí ô chọn:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|l|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25&u_i\\\hline
150&^5\ \ \ _0&^4\ \ _{150}&^6&^0&0\\\hline
100&^8\ \ _{65}&^5&^9\ \ \ \ _{35}&^0&3\\\hline
145&^{11}&^6&^{12}\ \ _{145}&^0&6\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}&4\\\hline
v_j&5&4&6&-4&\\\hline
\end{array}\\
\text{Kiểm tra phương án:}\\
\Delta_{11} = 0;\ \Delta_{12} =0;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = -4\\
\Delta_{21} = 0;\ \Delta_{22} =2;\ \Delta_{23} = 0;\ \Delta_{24} = -1\\
\Delta_{31} = 0;\ \Delta_{32} =4;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = 2\\
\Delta_{41} = 0;\ \Delta_{42} =1;\ \Delta_{43} = -3;\ \Delta_{44} = 0\\
\Rightarrow\text{Phương án chưa tối ưu}\\
\Rightarrow\text{Ô bổ sung là (3,2) do $\Delta_{32} = 4 >0$ lớn nhất}\\
\text{Xác định vòng và lượng điều chỉnh:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^{5\ \color{Red}{+}}\ \ \ _0&^{4\ \color{Red}{-}}\ \ _{150}&^6&^0\\\hline
100&^{8\ \color{Red}{-}}\ \ _{65}&^5&^{9\ \color{Red}{+}}\ \ \ \ _{35}&^0\\\hline
145&^{11}&^{6\ \color{Red}{+}}&^{12\ \color{Red}{-}}\ \ _{145}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Lượng điều chỉnh $q = 65$, ô bị loại là (2,1)}\\
\text{Phương án cơ bản mới:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4\ \ _{85}&^6&^0\\\hline
100&^8&^5&^9\ \ \ _{100}&^0\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{65}&^{12}\ \ _{80}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Qui 0 cước phí ô chọn:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|l|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25&u_i\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4\ \ _{85}&^6&^0&0\\\hline
100&^8&^5&^9\ \ \ _{100}&^0&-1\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{65}&^{12}\ \ _{80}&^0&2\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}&4\\\hline
v_j&5&4&10&-4&\\\hline
\end{array}\\
\text{Kiểm tra phương án:}\\
\Delta_{11} = 0;\ \Delta_{12} =0;\ \Delta_{13} = 4;\ \Delta_{14} = -4\\
\Delta_{21} = -4;\ \Delta_{22} =-2;\ \Delta_{23} = 0;\ \Delta_{24} = -5\\
\Delta_{31} = -4;\ \Delta_{32} =0;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = -2\\
\Delta_{41} = 0;\ \Delta_{42} =1;\ \Delta_{43} = -3;\ \Delta_{44} = 0\\
\Rightarrow\text{Phương án chưa tối ưu}\\
\Rightarrow\text{Ô bổ sung là (1,3) do $\Delta_{13} = 4 >0$ lớn nhất}\\
\text{Xác định vòng và lượng điều chỉnh:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^{4\ \color{Red}{-}}\ \ _{85}&^{6\ \color{Red}{+}}&^0\\\hline
100&^8&^5&^9\ \ \ _{100}&^0\\\hline
145&^{11}&^{6\ \color{Red}{+}}\ \ _{65}&^{12\ \color{Red}{-}}\ \ _{80}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Lượng điều chỉnh $q = 80$, ô bị loại là (3,3)}\\
\text{Phương án cơ bản mới:}\\
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4\ \ \ _{5}&^6\ \ _{80}&^0\\\hline
100&^8&^5&^9\ \ _{100}&^0\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{145}&^{12}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Qui 0 cước phí ô chọn:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|l|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25&u_i\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4\ \ \ _{5}&^6\ \ _{80}&^0&0\\\hline
100&^8&^5&^9\ \ _{100}&^0&3\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{145}&^{12}&^0&2\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}&4\\\hline
v_j&5&4&6&-4&\\\hline
\end{array}\\
\text{Kiểm tra phương án:}\\
\Delta_{11} = 0;\ \Delta_{12} =0;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = -4\\
\Delta_{21} = 0;\ \Delta_{22} =2;\ \Delta_{23} = 0;\ \Delta_{24} = -1\\
\Delta_{31} = -4;\ \Delta_{32} =0;\ \Delta_{13} = -4;\ \Delta_{14} = -2\\
\Delta_{41} = 0;\ \Delta_{42} =1;\ \Delta_{43} = -3;\ \Delta_{44} = 0\\
\Rightarrow\text{Phương án chưa tối ưu}\\
\Rightarrow\text{Ô bổ sung là (2,2) do $\Delta_{22} = 2 >0$ lớn nhất}\\
\text{Xác định vòng và lượng điều chỉnh:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^{4\ \color{Red}{-}}\ \ \ _{5}&^{6\ \color{Red}{+}}\ \ _{80}&^0\\\hline
100&^8&^{5\ \color{Red}{+}}&^{9\ \color{Red}{-}}\ \ _{100}&^0\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{145}&^{12}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Lượng điều chỉnh $q = 5$, ô bị loại là (1,2)}\\
\text{Phương án cơ bản mới:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4&^6\ \ _{85}&^0\\\hline
100&^8&^5\ \ \ _5&^9\ \ _{95}&^0\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{145}&^{12}&^0\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}\\\hline
\end{array}\\
\text{Qui 0 cước phí ô chọn:}\\
\begin{array}{|c|l|l|l|l|c|}\hline
_P\backslash ^T&140&150&180&25&u_i\\\hline
150&^5\ \ _{65}&^4&^6\ \ _{85}&^0&0\\\hline
100&^8&^5\ \ \ _5&^9\ \ _{95}&^0&3\\\hline
145&^{11}&^6\ \ _{145}&^{12}&^0&4\\\hline
100&^9\ \ _{75}&^7&^{13}&^0\ \ _{25}&4\\\hline
v_j&5&2&6&-4\\\hline
\end{array}\\
\text{Kiểm tra phương án:}\\
\Delta_{11} = 0;\ \Delta_{12} =-2;\ \Delta_{13} = 0;\ \Delta_{14} = -4\\
\Delta_{21} = 0;\ \Delta_{22} =0;\ \Delta_{23} = 0;\ \Delta_{24} = -1\\
\Delta_{31} = -2;\ \Delta_{32} =0;\ \Delta_{13} = -2;\ \Delta_{14} = 0\\
\Delta_{41} = 0;\ \Delta_{42} =-1;\ \Delta_{43} = -3;\ \Delta_{44} = 0\\
\Rightarrow \text{Phương án tối ưu}\ X^* = \left(\matrix{65&0&85&0\\ 0&5&95&0\\ 0&145&0&0\\ 75&0&0&25} \right)\\
\text{Vậy phương án tối ưu của bài toán vận tải ban đầu là}\\
X = \left(\matrix{65&0&85\\ 0&5&95\\ 0&145&0\\ 75&0&0} \right);\ f_{\min} = 3260\\
\text{và lượng hàng còn lại không phát hết là 25 ở trạm phát 4}
\end{array}\)