Đáp án:
8) $- 1 < x < - \frac{2\sqrt[]{5}}{5}; - \frac{\sqrt[]{2}}{2} < x < \frac{\sqrt[]{2}}{2}; \frac{2\sqrt[]{5}}{5} < x < 1$
9) $ x < \frac{4}{3} $
Giải thích các bước giải:
8) Điều kiện $ 1 - x² > 0 ⇔ - 1 < x < 1 (1)$
BPT đã cho tương đương với $: 1 > 3x\sqrt[]{1 - x²} - (1 - x²) $
$ ⇔ 2 - x² > 3x\sqrt[]{1 - x²}$
$ ⇔ x^{4} - 4x² + 4 > 9x²(1 - x²)$
$ ⇔ 10x^{4} - 13x² + 4 > 0$
$ ⇔ (5x² - 4)(2x² - 1) > 0$
$ ⇔ x² < \frac{1}{2}; x² > \frac{4}{5} $
$ ⇔ - \frac{\sqrt[]{2}}{2} < x < \frac{\sqrt[]{2}}{2}; x < - \frac{2\sqrt[]{5}}{5}; x > \frac{2\sqrt[]{5}}{5} (2)$
Kết hợp $(1); (2)$ nghiêm của BPT là :
$- 1 < x < - \frac{2\sqrt[]{5}}{5}; - \frac{\sqrt[]{2}}{2} < x < \frac{\sqrt[]{2}}{2}; \frac{2\sqrt[]{5}}{5} < x < 1$
9) BPT tương đương với:
$2(x² + 1) - 4x\sqrt[]{x² + 1} + 2\sqrt[]{x² + 1} - \sqrt[]{x² + 1} + 2x - 1 > 0$
$⇔ 2\sqrt[]{x² + 1}(\sqrt[]{x² + 1} - 2x + 1) - (\sqrt[]{x² + 1} - 2x + 1) > 0$
$⇔ (2\sqrt[]{x² + 1} - 1)(\sqrt[]{x² + 1} - 2x + 1) > 0$
$⇔ \sqrt[]{x² + 1} - 2x + 1 > 0$ (Vì $2\sqrt[]{x² + 1} - 1 > 0$ với $∀x$)
$⇔ \sqrt[]{x² + 1} > 2x - 1 (*) $
@ Nếu $ x ≤ \frac{1}{2} (1) ⇔ 2x - 1 ≤ 0 ⇒ (*)$ luôn đúng
@ Nếu $x > \frac{1}{2} (2) $ thì bình phương $(*)$
$x² + 1 > 4x² - 4x + 1 ⇔ 3x² - 4x < 0 ⇔ 0 < x < \frac{4}{3} (3)$
Từ $(2); (3) : \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3} (4)$
Kết hợp $(1); (4)$ nghiệm của BPT là$ : x < \frac{4}{3} $
