Đáp án:
$x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5 $
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad \sqrt{3x^2 - 12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 - 8x\\
\Leftrightarrow \sqrt{3(x^2 - 4x) + 1} \leqslant 2(x^2 - 4x) - 6\\
Đặt\ t = x^2 - 4x\\
\text{Bất phương trình trở thành:}\\
\quad \sqrt{3t + 1} \leqslant 2t - 6\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2t - 6 \geqslant 0\\3t + 1 \geqslant 0\\3t + 1 \leqslant (2t -6)^2\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\t \geqslant - \dfrac13\\4t^2 - 27t + 35 \geqslant 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\\left[\begin{array}{l}t \geqslant 5\\t \leqslant \dfrac74\end{array}\right.\end{cases}\\
\Leftrightarrow t \geqslant 5\\
\Leftrightarrow x^2 - 4x \geqslant 5\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\
\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5
\end{array}\)
_____________________________________________________________
\(\begin{array}{l}
\quad \sqrt{3x^2 -12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 -8x\qquad \left(ĐK: \left[\begin{array}{l}x \geqslant \dfrac{6 + \sqrt{33}}{3}\\x \leqslant \dfrac{6 - \sqrt{33}}{3}\end{array}\right.\right)\\
\Leftrightarrow \sqrt{3x^2 - 12x + 1} - 4 \leqslant 2x^2 - 8x - 10\\
\Leftrightarrow \dfrac{3(x^2 - 4x - 5)}{\sqrt{3x^2- 12x + 1} + 4} \leqslant 2(x^2 -4x - 5)\\
\Leftrightarrow (x^2 - 4x - 5)\left(2 - \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 - 12x + 1} + 4}\right) \geqslant 0\quad (*)\\
\text{Ta có:}\\
\quad 2 - \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 - 12x + 1} + 4}= \dfrac{2\sqrt{3x^2 - 12x + 1} + 5}{\sqrt{3x^2 - 12x + 1} + 4} >0\\
\text{Do đó:}\\
(*) \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 \geqslant 0\\
\qquad \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\
\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5
\end{array}\)
