Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi $a, b$ không âm ta có:
$ (a - 1)² ≥ 0 ⇔ a² - 2a + 1 ≥ 0 ⇔ a² + 1 ≥ 2a $
$ ⇔ a² + 2 ≥ 2a + 1 ⇔ \dfrac{a² + 2}{2a + 1} ≥ 1$
Tương tự $: \dfrac{b² + 2}{2b + 1} ≥ 1$
Dấu $'=' ⇔ a = 1; b = 1 (1)$
$ P = \dfrac{(a² + 2b + 3)(b² + 2a + 3)}{(2a + 1)(2b + 1)} $
$ = \dfrac{(a² + 2) + (2b + 1)}{2b + 1}. \dfrac{(b² + 2) + (2a + 1)}{2a + 1}$
$ = (\dfrac{a² + 2}{2b + 1} + 1).(\dfrac{b² + 2}{2a + 1} + 1)$
$ ≥ (2\sqrt{\dfrac{a² + 2}{2b + 1}}).(2\sqrt{\dfrac{b² + 2}{2a + 1}}) $
$ = 4\sqrt{\dfrac{a² + 2}{2a + 1}}.\sqrt{\dfrac{b² + 2}{2b + 1}} ≥ 4.1.1 = 4 (2)$
Vậy $GTNN$ của $P = 4$ xảy ra khi đồng thời xảy ra
dấu $'='$ ở $(1)$ và $(2): ⇔ a = b = 1$
