.

Đáp án:

$a)BC: {\left\{\begin{aligned}x=-2t\\y=6-5t\end{aligned}\right.}$
b)
$AC: x+2y=0$
c)
$BK: -2x+y-6=0$
d)
$(x-4)^2+(y+2)^2=80$
e)
$(x-1)^2+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^2=\frac{45}{4}$
f)
$d: x+2y-12=0$
g)
$d': -2x+y-6=0$

Giải thích các bước giải:

$a)\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$
Phương trình tham số của đường thẳng BC đi qua $B(0;6)$ và nhận $\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$ làm vecto chỉ phương có dạng
${\left\{\begin{aligned}x=-2t\\y=6-5t\end{aligned}\right.}$
b)
$\overrightarrow{AC}=(-6;3)=3(-2;1)\\
\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(1;2)$
Phương trình tổng quát đường thẳng AC đi qua $C(-2;1)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AC}}=(1;2)$ làm vetco pháp tuyến có dạng
$1(x+2)+2(y-1)=0\\
\Leftrightarrow x+2+2y-2=0\\
\Leftrightarrow x+2y=0$
c)
Do $BK\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{n_{BK}}=\overrightarrow{AC}=(-2;1)$
Phương trình đường cao BK đi qua $B(0;6)$ và nhận $\overrightarrow{n_{BK}}=(-2;1)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$-2(x-0)+1(y-6)=0\\
\Leftrightarrow -2x+y-6=0$
d)
$\overrightarrow{AB}=(-4;8)\\
R=AB=\sqrt{(-4)^2+8^2}=4\sqrt{5}$
Phương trình đường tròn có tâm $A(4;-2)$ và bán kính $R=4\sqrt{5}$ có dạng
$(x-4)^2+(y+2)^2=80$
e)
Gọi I là trung điểm của AC nên $I(1;\frac{-1}{2})$
$\overrightarrow{AC}=(-6;3)\Rightarrow AC=\sqrt{(-6)^2+3^2}=3\sqrt{5}\\
\Rightarrow R=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
Phương trình đường tròn có tâm $I(1;\frac{-1}{2})$ và bán kính $R=\frac{3\sqrt{5}}{2}$ có dạng
$(x-1)^2+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^2=\frac{45}{4}$
f)
Gọi phương trình cần tìm là d
Do $d// AC\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{n_{AC}}=(1;2)$
Phương trình đường thẳng d đi qua $B(0;6)$ và nhận $\overrightarrow{n_d}=(1;2)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$1(x-0)+2(y-6)=0\\
\Leftrightarrow x+2y-12=0$
g)
Gọi đường thẳng cần tìm là d'
Do $d'\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{n_{d'}}=\overrightarrow{AC}=(-2;1)$
Phương trình đường thẳng d' đi qua $B(0;6)$ và nhận $\overrightarrow{n_{d'}}=(-2;1)$ làm vetco pháp tuyến có dạng
$-2(x-0)+1(y-6)=0\\
\Leftrightarrow -2x+y-6=0$