Đáp án: $B$
Giải thích các bước giải:
Đặt $m^2-m=t\to t=(m-\dfrac12)^2-\dfrac14\ge -\dfrac14$
$\to g(x)=\dfrac{|x-t|}{|x+1|}$
Với $t\in[-\dfrac14,1)$ ta có:
$g(x)=\dfrac{x-t}{x+1}$
$\to g'(x)=\dfrac{1+t}{(x+1)^2}\ge 0$ vì $t\ge -\dfrac14$
$\to GTLN(g(x))$ trên $[1,2]$ là $g(2)=\dfrac{2-t}{3}\ge \dfrac{2-1}{3}=\dfrac13$
Với $t\in[1,2]$ ta có:
$g(x)=\begin{cases} \dfrac{t-x}{x+1}, x\in[1,t]\\ \dfrac{x-t}{x+1}, x\in(t,2]\end{cases}$
$\to g'(x)=\begin{cases} -\dfrac{1+t}{(x+1)^2}, x\in[1,t]\\ \dfrac{1+t}{(x+1)^2}, x\in(t,2]\end{cases}$
$\to GTLN(g(x))$ trên $[1,2]$ là $max(g(1), g(2))=max{\dfrac{t-1}{2},\dfrac{2-t}{3}}$
Ta có: $g(1)=g(2)\leftrightarrow \dfrac{t-1}{2}=\dfrac{2-t}{3}\to t=\dfrac75$
$+) t=\dfrac75\to Max\quad g(x)=g(1)=g(2)=\dfrac15$
$+) t\in[1,\dfrac75)\to Max\quad g(x)= g(2)=\dfrac15$
$+) t\in(\dfrac75,2)\to Max\quad g(x)=g(1)=\dfrac15$
Với $t\in(3,+\infty)$ ta có:
$g(x)=\dfrac{t-x}{x+1}$
$\to g'(x)=-\dfrac{1+t}{(x+1)^2}\le 0$
$\to GTLN(g(x))=g(1)=\dfrac12$
Tổng hợp các tường hợp
$\to GTLN(g(x))=\dfrac15\to t=\dfrac75$
$\to m^2-m=\dfrac75$
$\to m^2-m-\dfrac75=0$
$\to m_1+m_2=1$
$\to B$
