Đáp án:
$A.\ g(-1) < g(5) < g(3)$
Giải thích các bước giải:
$\quad g(x)= 2f(x) - (x-1)^2$
$\to g'(x)= 2f'(x) - 2(x-1)$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x-1\quad (*)$
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và đường thẳng $y = x-1$
Ta được:
$\quad (*)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 3\\x = 5\end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&-1&&3&&5&&+\infty\\\hline g'(x)&&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu, ta được:
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 3;\ g_{max}= g(3)$
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $x= 5;\ g_{\min}= g(-1);\ g_{\min}= g(5)$
Xét hai phần diện tích $S_1,\ S_2$ giới hạn bởi hai đường $y = f'(x)$ và $y = x-1$ (Hình đính kèm)
Dễ dàng nhận thấy $S_1> S_2$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-1}^3[f'(x) - (x-1)]dx > \displaystyle\int\limits_3^5[(x-1) - f'(x)]dx$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-1}^3[2f'(x) - 2(x-1)]dx > \displaystyle\int\limits_5^3[2f'(x)-2(x-1)]dx$
$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-1}^3g'(x)dx > \displaystyle\int\limits_5^3g'(x)dx$
$\Leftrightarrow g(x)\Bigg|_{-1}^3 > g(x)\Bigg|_5^3$
$\Leftrightarrow g(3)- g(-1) > g(3) - g(5)$
$\Leftrightarrow g(5) > g(-1)$
Vậy $g(3) > g(5) > g(-1)$
