Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
m = \frac{7}{2}\\
m = - \frac{{11}}{2}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = - {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + m - 1\\
f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x = x.\left[ { - 3x + 2\left( {m + 1} \right)} \right]\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
{x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Hàm số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\\
\Leftrightarrow \left| {\frac{{2m + 2}}{3}} \right| = 3\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{2m + 2}}{3} = 3\\
\frac{{2m + 2}}{3} = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2m + 2 = 9\\
2m + 2 = - 9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{7}{2}\\
m = - \frac{{11}}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
