Ta có:
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$
$⇔x+\frac{1}{x}=\sqrt[]{x^2+\frac{1}{x^2}+2}$
Đặt $x^2+\frac{1}{x^2}=t (t>0)$, ta có:
$t=\sqrt[]{t+2}$
$⇔t^2=t+2⇔t^2-t-2=0⇔\left[ \begin{array}{l}t=2\\t=-1\end{array} \right.$
(Loại $t=-1$ vì $t>0$)
Với $t=2$, ta có:
$x^2+\frac{1}{x^2}=2 (x\neq0)$
* Cách $1$: $PT⇔x^4-2x^2+1=0$
Đặt $x^2=u (u≥0) ⇒ u^2-2u+1=0⇒(u-1)^2=0⇔u=1⇒x^2=1⇔x=±1$
Thử lại ta loại $x=-1$ vì vế trái bằng $-2$, vế phải bằng $2$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$.
* Cách $2$: Theo bđt Cô-si, ta có:
$x^2+\frac{1}{x^2}≥2\sqrt[]{x^2.\frac{1}{x^2}}=2$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\frac{1}{x^2}⇔x=±1$
Thử lại ta loại $x=-1$ vì vế trái bằng $-2$, vế phải bằng $2$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=1$.
