Đáp án:
$A.\ V = \dfrac{a\sqrt3}{9}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABD$
Từ $G$ kẻ $GM\perp AB$
$\Rightarrow GM//AD$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{GM}{BC}=\dfrac{AG}{AC}=\dfrac13$
$\Rightarrow GM =\dfrac13BC = \dfrac{a}{3}$
Ta có:
$\begin{cases}SG\perp AB\quad (SG\perp (ABCD))\\GM\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$
$\Rightarrow AB\perp (SGM)$
$\Rightarrow AB\perp SM$
Khi đó:
$\begin{cases}(SAB)\cap (ABCD)= AB\\GM\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\\GM\subset (ABCD)\\SM\perp AB\quad (cmt)\\SM\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SAB);(ABCD))}=\widehat{SMG}= 60^\circ$
$\Rightarrow SG = GM.\tan60^\circ =\dfrac{a}{3}\cdot \sqrt3 =\dfrac{a\sqrt3}{3}$
Ta được:
$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SG = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac{a\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt3}{9}$
