a)
Xét ΔABD và ΔACD, có:
$\widehat{A}$ chung
`AB=AC`
$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o$
`⇒ΔABD=ΔACD(g.c.g)`
`⇒BD=CE` (2 cạng tương ứng)
b)
Vì $ΔABD=ΔACD$ (theo a)
$⇒\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (2 góc tương ứng) `(1)`
Mà ΔABC cân $⇒\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ `(2)`
Ta lại có: $\widehat{HBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABD}$ `(3)`
$\widehat{HCB}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$ `(4)`
Từ `(1), (2), (3), (4) ⇒` $\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$
`⇒ΔBHC` cân.
c) Gọi M là giao điểm của AH và BC.
Ta có: `AE=AB-BE` `(5)`
`AD=AC-CD` `(6)
Mà `AB=AC; BE=CD` `(7)`
Từ `(5), (6), (7) ⇒ AE=AD`
Xét ΔAEH và ΔADH, có:
`AE=AD(cmt)`
$\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$
`AH` chung
`⇒ΔAEH=ΔADH(ch-cgv)`
$⇒\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (2 góc tương ứng)
Hay $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$
Xét ΔABM và ΔACM, có:
`AB=AC`
$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}(cmt)$
`AM` chung
`⇒ΔABM = ΔACM (c.g.c)`
`⇒BM=CM` `(8)`
$⇒\widehat{BMA}=\widehat{CMA}$ (2 góc tương ứng)
Mà $\widehat{BMA}+\widehat{CMA}=180^o$ (kề bù)
$⇒\widehat{BMA}=\widehat{CMA}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$
`⇒AM⊥BC` `(9)`
Từ `(8), (9) ⇒ AM` là đường trung trực của BC. Hay `AH` là đường trung trực của BC.
d) Vì D là trung điểm của BK nên `BD=DK`
Mà `EC=BD(ΔABD=ΔACE)`
`⇒EC=DK` `(10)`
Xét ΔECB và ΔDKC, có:
`CE=DK` (theo (10))
$\widehat{BEC}=\widehat{KDC}=90^o$
`BE=CD`
`⇒ΔECB = ΔDKC(c.g.c)`
$⇒\widehat{ECB}=\widehat{DKC}$ (2 góc tương ứng)
