Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a)\Delta ABC$ vuông tại $ A$, đường cao $AH$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\\ \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}}}=\dfrac{36}{5}(cm)$
$b)\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15(cm)\\ S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=54(cm^2)$
$AMHN$ có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^\circ$
$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AH=MN$
$\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HM$
$\Rightarrow AH^2=AM.AB$
$\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HC$
$\Rightarrow AH^2=AN.AC\\ \Rightarrow AM.AB=AN.AC\\ \Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$
$\widehat{BAC}:$ chung
$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\\ \Rightarrow \Delta AMN \backsim \Delta ACB\\ \Rightarrow \dfrac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ACB}}=\dfrac{MN^2}{BC^2}=\dfrac{AH^2}{BC^2}=\dfrac{144}{625}\\ \Rightarrow S_{\Delta AMN}=\dfrac{144}{625}S_{\Delta ACB}=\dfrac{7776}{625}(cm^2)\\ \Rightarrow S_{BMNC}=S_{\Delta ACB}-S_{\Delta AMN}=\dfrac{25974}{625} \approx 41,6(cm^2).$
