Câu 22
ĐK: $x > 0$
Đặt $t = \log_{\sqrt{3}} x$.
Khi đó, để ptirnh có nghiệm $x < 1$ thì $t < 0$, tức là ptrinh
$t^2 - mt + 1 = 0$
có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 0.
Ta có
$\Delta = m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$
Để ptrinh có nghiệm duy nhất thì $\Delta = 0$, do đó $m = 2$ hoặc $m = -2$.
Nếu $m = 2$ thì khi thay vào, ta có ptrinh
$t^2 - 2t + 1 = 0$
Vậy $t = 1$ (loại do $t > 0$)
Nếu $m = -2$ thì khi thay vào, ta có ptrinh
$t^2 +2t + 1 = 0$
Vậy $t = -1$ (thỏa mãn)
Vậy với $m = -2$ thì ptrinh có nghiệm duy nhất $t = -1$.
Đáp án B.
Câu 23
ĐK: $x > 0$
Đặt $t = \log_2 x$.
Khi đó, ptrinh trở thành
$t^2 + t + m = 0$
KHi đó, ptrinh có nghiệm $x \in (0,1)$ thì $t < 0$
TH1: Ptrinh có nghiệm duy nhất
Ta có
$\Delta = 1 - 4m$
Ptrinh có nghiệm duy nhất nên $\Delta = 0$ hay $m = \dfrac{1}{4}$
Khi đó ptrinh có nghiệm $t = -\dfrac{1}{2}<0$
Vậy với $m = \dfrac{1}{4}$ thì ptrinh có nghiệm thuộc khoảng $(0,1)$.
TH2: Ptrinh có 2 nghiệm phân biệt.
Khi đó, $\Delta > 0$ hay $m < \dfrac{1}{4}$
Khi đó, ptrinh có 2 nghiệm
$x_1 = \dfrac{-1-\sqrt{1-4m}}{2}, x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{1-4m}}{2}$
Dễ thấy rằng
$-1 -\sqrt{1-4m} < 0$ với mọi $m < \dfrac{1}{4}$
Vậy $x_1 < 0$ với mọi $m < \dfrac{1}{4}$
Vậy $m < \dfrac{1}{4} $ thỏa mãn đề bài
Do đó với $m \leq \dfrac{1}{4}$ thì ptrinh có nghiệm $x \in (0,1)$.
Đáp án C.
Câu 24
ĐK: $x > 0$
Đặt $t = \log_3 x$, khi đó ptrinh trở thành
$t^2 - mt + 2m - 7 = 0$ (1)
Để ptrinh trong đề có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1 x_2 = 81$ thì (1) phải có 2 nghiệm $t_1, t_2$ phân biệt.
Từ đẳng thức đã cho ta có
$x_1 x_2 = 81$
$<-> \log_3(x_1 x_2) = 4$
$<-> \log_3 x_1 + \log_3 x_2 = 4$
$<-> t_1 + t_2 = 4$
Vậy ptrinh (1) có 2 nghiệm $t_1, t_2$ thỏa mãn $t_1 + t_2 = 4$
Ptrinh có
$\Delta = m^2 - 4(2m-7) = m^2 - 8m + 28 = (m-4)^2 + 12 > 0$ với mọi $m$
Vậy ptrinh luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Áp dụng Viet ta có
$t_1 + t_2 = m = 4$
Vậy $m = 4$.
Đáp án B.
Câu 25
Đặt $t = \log_2 x$. Khi đó, bpt trở thành
$t^2 - 2t + 3m - 2 < 0$
Có
$\Delta' = 1 - (3m-2) = 3-3m$
Để BPT có nghiệm thực thì
$\Delta' \geq 0$
$<-> 3-3m \geq 0$
$<-> m \leq 1$
Đáp án D.
