Đáp án:

e) \(\left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 0
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)Q = \dfrac{{3x - 3\sqrt x  - 3 - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{3x - 3\sqrt x  - 3 - x + 1 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x - 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}\\
b)Thay:x = 4 + 2\sqrt 3  = 3 + 2\sqrt 3 .1 + 1\\
 = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}\\
 \to Q = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + 2}}\\
 = \dfrac{{\sqrt 3  + 1 - 2}}{{\sqrt 3  + 1 + 2}} = \dfrac{{\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3  + 3}} = \dfrac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\\
c)Q = 3\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = 3\\
 \to \sqrt x  - 2 = 3\sqrt x  + 6\\
 \to 2\sqrt x  =  - 8\\
 \to \sqrt x  =  - 4\left( l \right)\\
 \to x \in \emptyset \\
d)Q > \dfrac{1}{2}\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} > \dfrac{1}{2}\\
 \to \dfrac{{2\sqrt x  - 4 - \sqrt x  - 2}}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} > 0\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  - 6}}{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} > 0\\
 \to \sqrt x  - 6 > 0\\
 \to x > 36\\
e)Q = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\sqrt x  + 2 - 4}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 - \dfrac{4}{{\sqrt x  + 2}}\\
Q \in Z \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x  + 2}} \in Z\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 \in U\left( 4 \right)\\
Mà:\sqrt x  + 2 \ge 2\forall x \ge 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  + 2 = 4\\
\sqrt x  + 2 = 2
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  = 2\\
\sqrt x  = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)