$d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))$ $(1)$
Từ $O$ kẻ $OH⊥BC$ tại $H$
$BC⊥OH, BC⊥SO, SO∩OH=O⇒ BC⊥(SOH)$
Từ $O$ kẻ $OK⊥SH$, lại có $OK⊥BC$ (do $BC⊥(SOH)), SH∩BC=H$
$⇒OK⊥(SBC)$ hay $d(O,(SBC))=OK$ $(2)$
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và $BD⊥AC$
$⇒\widehat{OBC}=30$ độ
Cạnh $OC$ đối diện với góc $30$ độ nên $OC=BC:2=\frac{a}{2}$
$ΔABC$ cân có $\widehat{B}=60$ độ $⇒ΔABC$ đều $⇒BO=\frac{a\sqrt[]{3}}{2}$
$⇒OH=\frac{OB.OC}{\sqrt[]{OB^2+OC^2}}=\frac{a\sqrt[]{3}}{4}$
Trong $ΔSOH$ vuông tại $O$ có:
$OK=\frac{SO.OH}{\sqrt[]{SO^2+OH^2}}=\frac{a\sqrt[]{57}}{19}$ $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ $⇒ d(A,(SBC))=\frac{2a\sqrt[]{57}}{19}$.
