a)
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔDEF$ vuông tại $D$ có đường cao $DH$ :
$DE^2=EH.EF=9.25=225$
$↔DE=15 ( cm )$
Áp dụng định lý Pi-ta-go :
$DE^2+DF^2=EF^2$
$↔15^2+DF^2=25^2$
$↔225+DF^2=625$
$↔DF^2=400 ⇒ DF=20 ( cm )$
b)
$Ex//DF ; DE⊥DF$
$→Ex⊥DE → ΔMED$ vuông tại $E$
Áp dụng hệ thức lượng :
$DH.EF=DE.DF ↔ DH=\dfrac{DE.DF}{EF}=\dfrac{15.20}{25}=12 ( cm )$
$DE^2=DH.DM ↔ DM = \dfrac{15^2}{12} = 18,75 ( cm )$
$→HM = 18,75-12=6,75 ( cm )$
Xét hai tam giác : $ΔEHM$ và $ΔFDE$ có :
$\widehat{HEM}=\widehat{DFE}$ ( Hai góc so le trong )
$\widehat{EHM}=\widehat{FDE}$
$→ΔEHM~ΔFDE ( g.g )$
$↔\dfrac{EH}{DF}=\dfrac{EM}{EF}$
$→DF.EM=EH.EF$
Mà $DE^2=EH.EF$ ( Hệ thức lượng )
$→DE^2=DF.EM$
c)
$MN⊥DF → \widehat{DNM}=90°$
$→\widehat{HMI}=\widehat{HFD}$ ( Cùng phụ $\widehat{HDF}$ )
Xét hai tam giác : $ΔHIM$ và $ΔHDF$ có :
$\widehat{HMI}=\widehat{HFD}$
$\widehat{MHI}=\widehat{DHF}$
$→ΔHIM~ΔHDF (g.g)$
$→\dfrac{HI}{HD}=\dfrac{HM}{HF}$
$→HI.HF=HD.HM$
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $DEM$ :
$EH^2=HD.HM$
$→EH^2=HI.HF$
