Đáp án:
Hàm số đạt cực tiểu tại $M(0;0);\, z_{CT}= 1$
Hàm số đạt cực đại tại $M_2\left(-\dfrac53;0\right);\, z_{CĐ}= \dfrac{152}{27}$
Giải thích các bước giải:
$z= f(x;y)= 2x^3 + xy^2 + 5x^2 + y^2 +1$
$\to \begin{cases}z'_x = 6x^2 + y^2 + 10x\\z'_y = 2xy + 2y\end{cases}$
$\to \begin{cases}z''_{xx} = 12x + 10\\z''_{xy} = 2y\\z''_{yy}=2x + 2\end{cases}$
Ta có:
$\quad \begin{cases}z'_x = 0\\z'_y= 0\end{cases}$
$\to \begin{cases}6x^2 + y^2 + 10x = 0\\2xy + 2y = 0\end{cases}$
$\to \begin{cases}6x^2 + y^2 + 10x = 0\\\left[\begin{array}{l}y = 0\\x = -1\end{array}\right.\end{cases}$
$\to \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}\\\begin{cases}x = -\dfrac{5}{3}\\y = 0\end{cases}\\\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\\\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases}\end{array}\right.$
Ta được $4$ điểm dừng $M_1(0;0);\, M_2\left(-\dfrac53;0\right);\, M_3(-1;2);\, M_3(-1;-2)$
Đặt $\begin{cases}A =z''_{xx} = 12x + 10\\B =z''_{xy} = 2y\\C =z''_{yy}=2x + 2\end{cases}$
+) Xét điểm dừng $M_1(0;0)$
$\to \begin{cases}A = 10 > 0\\B = 0\\C = 2\end{cases}$
$\to B^2 - AC = -20 < 0$
$\to$ Hàm số đạt cực tiểu tại $M_1(0;0);\, z_{CT}= f(0;0)= 1$
+) Xét điểm dừng $M_2\left(-\dfrac53;0\right)$
$\to \begin{cases}A =- 10 < 0\\B = 0\\C = -\dfrac43\end{cases}$
$\to B^2 - AC = -\dfrac{40}{3} < 20$
$\to$ Hàm số đạt cực đại tại $M_2\left(-\dfrac53;0\right);\, z_{CĐ}= f\left(-\dfrac53;0\right)= \dfrac{152}{27}$
+) Xét điểm dừng $M_3(-1;2)$
$\to \begin{cases}A =- 2 < 0\\B = 4\\C = 0\end{cases}$
$\to B^2 - AC = 4 > 0$
$\to$ Hàm số không đạt cực trị tại $M_3(-1;2)$
+) Xét điểm dừng $M_4(-1;-2)$
$\to \begin{cases}A =- 2 < 0\\B = -4\\C = 0\end{cases}$
$\to B^2 - AC = 4 > 0$
$\to$ Hàm số không đạt cực trị tại $M_4(-1;-2)$
Vậy Hàm số đạt cực tiểu tại $M(0;0);\, z_{CT}= 1$
Hàm số đạt cực đại tại $M_2\left(-\dfrac53;0\right);\, z_{CĐ}= \dfrac{152}{27}$
