Đáp án: $a.b=\dfrac{16}{15}$
Giải thích các bước giải:
${{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}-x \right)+4 \right]+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+4 \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x}+\dfrac{4\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \dfrac{6x+4\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x} \right]+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\,\,\,\left( * \right)$
Nếu ta khảo sát hàm số $\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x$ thì thấy hàm số luôn $>0\forall x\in \mathbb{R}$
Vậy điều kiện là: $6x+4\sqrt{{{x}^{2}}+2}>0$
Giải điều kiện ra được $x>-\sqrt{\dfrac{8}{5}}$
$\left( * \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 6x+4\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)-{{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)+1-{{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2} \right)+3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le {{\log }_{2}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x \right)+\sqrt{{{x}^{2}}+2}+x$
$\Leftrightarrow 3x+2\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le \sqrt{{{x}^{2}}+2}+x$ (hàm đặc trưng và đồng biến)
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x}\le -2x$
Giải ra được $x\le -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Vậy, kết hợp lại, ta được: $x\in \left( -\sqrt{\dfrac{8}{5}};-\sqrt{\dfrac{2}{3}} \right]$
$\Rightarrow a=\dfrac{8}{5};b=\dfrac{2}{3}\Rightarrow ab=\dfrac{16}{15}$
