Đáp án: $\left[\begin{matrix} x=0\\ x=2\end{matrix}\right.$
Giải thích các bước giải:
$\text{ Theo bài ra ta có:}$ `25^(2x+1-x^2)+9^(2x+1-x^2)=34`
`<=> 5^(2.(2x+1-x^2))+3^(2.(2x+1-x^2))=34`
`<=> 5^(4x+2-2x^2)+3^(4x+2-2x^2)=34`
$Đặt$ `4x+2-2x^2 = t`
`=> 5^t + 3^t = 34`
`<=> 5^t + 3^t - 34=0`
$\text{ Ta có hàm số}$ `y=5^t + 3^t - 34`
`y'= 5^t . ln5 + 3^t . ln3`
$\text{ Ta dễ thấy}$ `5^t > 0, 3^t > 0` $\text{ với mọi t}$
`ln 5 > 0; ln 3 > 0`
`=> 5^t . ln5 + 3^t . ln3 > 0` $\text{ với mọi t}$
`<=> y' > 0` $\text{ với mọi t}$
$Vậy$ `y` $\text{ luôn đồng biến trên R}$
`=>` $\text{ y chỉ có nhiều nhất một nghiệm trên R}$ (***)
$\text{ Xét pt}$ `5^t + 3^t - 34` $\text{ ta thấy:}$
$Khi$ `t = 2` $thì$ `5^2 + 3^2 - 34=0`
`=>` $\text{ t= 2 thỏa mãn là nghiệm duy nhất của pt }$
`<=> 4x+2-2x^2=2`
`<=>4x-2x^2=0`
`<=>2x(2-x)=0; <=>` $\left[\begin{matrix} x=0\\ x=2\end{matrix}\right.$
----------------------------
(***) $\text{ Ta có tính chất: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến }$
$\text{(trên 1 khoảng nào đó, trong bài này là cả khoảng R )thì phương trình }$
$\text{đó chỉ có nhiều nhất một nghiệm, không đc vượt quá (trên khoảng đó) }$
