Bài 6:
$x^2-2(m-1)x+m^2-3m=0$ (1)
a) Thay $x=-2$ vào pt, ta được:
$4+4(m-1)+m^2-3m=0$
$⇔m^2+m=0$
$⇔m(m+1)=0$
$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m+1=0\end{array} \right.\)
$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-1\end{array} \right.\)
Nếu $m=0$ $(1)⇔x^2+2x=0⇔x(x+2)=0⇔$\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x+2=0\end{array} \right.\) $⇔$\(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-2\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm còn lại khi $m=0$ là $x=0$
Nếu $m=-1(1)⇔x^2+4x+4=0⇔(x+2)^2=0⇔x+2=0⇔x=-2$
Vậy không có nghiệm còn lại khi $m=-1$
b) Pt (1) có 2 nghiệm $x_1,x_2⇔Δ'≥0⇔(m-1)^2-(m^2-3m)≥0$
$⇔m^2-2m+1-m^2+3m≥0⇔m≥-1$
Ta có: $x_1^2+x_2^2=8⇔(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8$ (2)
Áp dụng hệ thức Vi-et có pt (1), ta được:
$\left \{ {{x_1+x_2=2(m-1)=2m-2} \atop {x_1x_2=m^2-3m}} \right.$
$(2)⇔(2m-2)^2-2.(m^2-3m)=8$
$⇔4m^2-8m+4-2m^2+6m=8$
$⇔2m^2-2m-4=0$
$⇔m^2-m-2=0$
$⇔(m-2)(m+1)=0$
$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m-2=0\\m+1=0\end{array} \right.\) $⇔$\(\left[ \begin{array}{l}m=2)(t/m\\m=-1(t/m)\end{array} \right.\)
c) Ta có: $x_1^2+x_2^2=2m^2-2m+4=2(m^2-m+1/4)+7/2$
$=2(m-1/2)^2+7/2≥7/2∀m$
Dấu "=" xảy ra $⇔m-1/2=0⇔m=1/2$
Vậy giá rị nhỏ nhất của $x_1^2+x_2^2$ là $7/2$ khi $m=1/2$
