Đáp án: Không tồn tại $m$ thỏa mãn đề
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ của $(d), (P)$ là:
$x^2=2(m-1)x-m^2+6$
$\to x^2-2(m-1)x+m^2-6=0(*)$
$\to$Để $(d)\cap (P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ là độ dài $2$ cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{16}$
$\to (*)$ có $2$ nghiệm dương thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=16$
$\to \begin{cases}\Delta'\ge 0\\ x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\ x_1^2+x_2^2=16\end{cases}$
$\to \begin{cases}(m-1)^2-1(m^2-6)\ge 0\\ x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\\ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16\end{cases}$
$\to \begin{cases}(m-1)^2-1(m^2-6)\ge 0\\2(m-1)>0\\m^2-6>0\\ (2(m-1))^2-2(m^2-6)=16\end{cases}$
$\to \begin{cases}-2m+7\ge 0\\m-1>0\\m^2>6\\ 2m^2-8m+16=16\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\le\dfrac72\\m>1\\m^2>6\\ 2m^2-8m=0\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\le\dfrac72\\m>1\\m^2>6\\ m\in\{0,4\}\end{cases}$
$\to$Không tồn tại $m$ thỏa mãn đề
