a)xét (O): BI=IC (gt)
=> OI vuông góc với BC (quan hệ vuông góc giữa đg kính và dây)
=> góc OCI= góc OMC (cùng phụ góc MOC)
tam giác BOC cân tại O (OB=OC=R)
=>góc OBI= góc OCI (2 góc tương ứng)
=> góc OMC= góc OBC (cùng = góc OCB)
=> tứ giác BOCM nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn 2 cạnh dưới góc = nhau)
góc OCM = 90 (gt)
=> góc OBM =90
b) xét tam giác MBD và tam giấc MAB
góc BMA chung
góc MBD= góc BAD (cùng chắn cung BD)
=> tam giác MBD đồng dạng tam giác MAB (g-g)
=> MB/ MA =MD/ MB => MB^2= MA.MD
tam giác OBM vuông tại B, đg cao BI => MB^2 = MI.MO
=>MA.MD = MI.MO (cùng =MB^2)
=> MD/ MO = MI/MA
xét tam giác MDI và tam giác MAI
góc DMI chung
MD/ MO = MI/MA (CMT)
=> tam giác MDI đồng dạng tam giác MOA (c-g-c)
=> góc DIM=góc MAO (2 góc tương ứng) (1)
=> tứ giác AOID nội tiếp (góc ngoài = góc trong đối diện)
=>góc OIA=góc ADO (cùng chắn cung AO) (2)
tam giác AOD cân tại O (OA=OD=R)
=> góc OAD=góc ODA (2 góc tương ứng) (3)
từ (1) (2) và (3) ==> góc OIA= góc DIM (cùng = góc ODA=OAD)
c) gọi K là giao điểm của AI với (O)
gọi H là giao điểm của BK và DC
tam giác BHC cân (HI vừa là đg cao, vừa là đg trung tuyến)
=>góc HBC= góc HCB
mà góc KBC=góc KDC (cùng chắn cungKC)
=> góc HCB= góc KDC
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=>BC//DK
=> BCKD cũng là hình thang
=> BCKD nôi tiếp đường tròn ( 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn)
=>BCKD là hình thang cân (hình thang nội tiếp)
=> BD=CK
=> Cung BD= cung CK
xet tam giác ABD và tam giác IAC
góc BDA=góc BCA (cùng chắn cung AB)
góc BAD=góc KAC (Cung BD= cung CK)
=> tam giác ADB đồng dạng tam giác ACI ()
AD/ AC = DB/CI
=>AD.CI= AC.DB
