Đáp án:
$\\$
`a,`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> AB=AC (1), hat{B}=hat{C}`
Do `M` là trung điểm của `AB`
`-> AM = 1/2 AB` `(2)`
Do `N` là trung điểm của `AC`
`-> AN=1/2 AC` `(3)`
Từ `(1), (2), (3)`
`-> AM =AN`
`-> ΔAMN` cân tại `A`
`-> hat{AMN}=(180^o-hat{A})/2` `(4)`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2` `(5)`
Từ `(4), (5)`
`-> hat{AMN}=hat{ABC}`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ MN//BC$
`->` Tứ giác `BMNC` là hình thang
mà `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)
`->` Tứ giác `BMNC` là hình thang cân
$\\$
`b,`
Gọi `H` là giao của `AK` và `BC (H∈BC)`
Xét `ΔABC` có :
`CM` là đường trung tuyến (`M` là trung điểm của `AB`)
`BN` là đường trung tuyến (`N` là trung điểm cuả `AC`)
`CM` cắt `BN` tại `K`
`-> K` là trọng tâm của `ΔABC`
`AK` cắt `BC` tại `H`
`-> AH` là đường trung tuyến
`-> H` là trung điểm của `BC`
`-> BH=CH`
Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :
`AH` chung
`AB=AC` (chứng minh trên)
`BH=CH` (chứng minh trên)
`-> ΔAHB=ΔAHC` (cạnh - cạnh - cạnh)
`-> hat{AHB} =hat{AHC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AHB+hat{AHC}=180^o` (2 góc kề bù)
`-> hat{AHB}=hat{AHC}=180^o/2=90^o`
hay `AK⊥BC`
