$\\$
Do `m,n∈ NN`
`-> 2n ≥0∀n`
Trở lại bài :
`(x_1p - y_1q)^{2n} + (x_2p - y_2q)^{2n} + ... + (x_mp - y_mq)^{2n} ≤0`
Với mọi `n` có : $\begin{cases} (x_1p - y_1q)^{2n} ≥0\\ (x_2p - y_2q)^{2n} ≥0\\.................\\(x_mp - y_mq)^{2n}≥0 \end{cases}$
`-> (x_1p - y_1q)^{2n} + (x_2p - y_2q)^{2n} + ... + (x_mp - y_mq)^{2n} ≥0∀n`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔` $\begin{cases} (x_1p - y_1q)^{2n} =0\\ (x_2p - y_2q)^{2n} =0\\.................\\(x_mp - y_mq)^{2n}=0 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x_1p - y_1q =0\\ x_2p - y_2q =0\\.............\\x_mp - y_mq=0 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} x_1p = y_1q \\ x_2p = y_2q \\..........\\x_mp = y_mq \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} \dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{q}{p}\\\dfrac{x_2}{y_2}=\dfrac{q}{p}\\........\\\dfrac{x_m}{y_m}=\dfrac{q}{p}\end{cases}$
Do đó : `(x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2)=...=(x_m)/(y_m)=q/p`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có :
`(x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2)=...=(x_m)/(y_m) = (x_1 + x_2 + ... +x_m)/(y_1+ y_2+...+y_m)`
mà `(x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2)=...=(x_m)/(y_m)=q/p`
`-> (x_1 + x_2 + ... +x_m)/(y_1+ y_2+...+y_m) = q/p` (đpcm)
