Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky có:
$(\sqrt{x^3}\sqrt{\dfrac{1}{x}}+\sqrt{y}\sqrt{y})^2≤(x^3+y)(\dfrac{1}{x}+y)$
$(x+y)^2≤(x^3+y)(\dfrac{1}{x}+y)⇒\dfrac{x+y}{x^3+y}≤\dfrac{\dfrac{1}{x}+y}{x+y}$
Tương tự ta có:$\dfrac{x+y}{x+y^3}≤\dfrac{\dfrac{1}{y}+x}{x+y}$
$⇒(x+y)(\dfrac{1}{x^3+y}+\dfrac{1}{x+y^3})≤\dfrac{1}{x+y}(\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}+x)$
$⇒(x+y)(\dfrac{1}{x^3+y}+\dfrac{1}{x+y^3}≤1+\dfrac{1}{xy}⇒S≤1$
Vậy $S_{max}=1$ khi $x=y=1$
