Đáp án:
$m \leq 2$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $f(x) = \dfrac{1}{7}x^7 + \dfrac{6}{5}x^5 - \dfrac{m^3}{4}x^4 + (5- m^2)x^3 - 3mx^2 + 10x + 2020$
$TXĐ: D = R$
$y' = x^6 + 6x^4 - m^3x^3 + (15 - 3m^2)x^2 -6mx + 10$
$= (x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8) - (m^3x^3 + 3m^2x^2 + 3mx + 1) + 3(x^2 - mx + 1)$
$= (x^2 + 2)^3 - (mx + 1)^3 + 3(x^2 - mx + 1)$
$= (x^2 - mx + 1)[(x^2 + 2)^2 + (x^2+2)(mx+1) + (mx + 1)^2 + 3]$
$= (x^2 - mx + 1)\left[\left(\dfrac{x^2 + 2}{2} + (mx + 1)\right)^2 + \dfrac{3}{4}(x^2 + 2)^2 + 3\right]$
Hàm số đồng biến trên $(0;1)$
$\Leftrightarrow y' \geq 0, \, \forall x \in (0;1)$
$\Leftrightarrow (x^2 - mx + 1)\left[\left(\dfrac{x^2 + 2}{2} + (mx + 1)\right)^2 + \dfrac{3}{4}(x^2 + 2)^2 + 3\right] \geq 0, \, \forall x \in (0;1)$
Dễ dàng nhận thấy:
$\left(\dfrac{x^2 + 2}{2} + (mx + 1)\right)^2 + \dfrac{3}{4}(x^2 + 2)^2 + 3 > 0, \, \forall x,m$
Do đó:
$y' \geq 0 \Leftrightarrow x^2 - mx + 1 \geq 0, \, \forall x \in (0;1)$
$\Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 1}{x} \geq m, \, \forall x \in (0;1)$
$\Leftrightarrow m \leq \mathop{min}\limits_{x \in (0;1)}\dfrac{x^2 + 1}{x}$
Xét $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ với $x \in (0;1)$
$\Rightarrow g'(x) = \dfrac{x^2- 1}{x^2}$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Xét bảng biến thiên của $g(x)$ trên $(0;1)$ ta được:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & & +\infty\\
\hline
g'(x) & & + & 0& & - & || & - & &0& + &\\
\hline
&&&&&&||\\
g(x) & &&&&&||&&\searrow& &\\
&&&&&&||&&&2\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
$m \leq \mathop{min}\limits_{x \in (0;1)}\dfrac{x^2 + 1}{x}$
$\Leftrightarrow m \leq 2$
