Bài 1. Cho ∆ABC có BC = 8 cm, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Chứng minh
BD + CE > 12 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Trên tia đối của
tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia đối của tia EG lấy
điểm N sao cho E là trung điểm GN. Chứng minh:
a) GN = GB, GM = GA;
b) AN = MB và AN // MB.
Bài 3. Cho ∆ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là
trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:
a) M là trọng tâm tam giác ABD;
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
c) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.
Bài 4. Cho ∆ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho
AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của ∆ABC.
Bài 5. Cho ∆ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM = 1/2KB. Điểm
H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và IC = 1/3CA.
Đường KI cắt HC ở E.
a) Chứng minh I là trọng tâm của ∆HKC và E là trung điểm của HC ở E
b) Tính các tỉ số , IE/IK IC/MC
Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I là trung điểm KC)
Bài 6. Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = QE. Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.
b) CP//AQ và CQ//AP.
Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của
∆ABC tới các đỉnh, của tam giác.
Bài 8. Cho hình vẽ, biết ∆ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vuông góc với nhau tại G.
Tia AG cắt BC tại I. BC = 5 cm. Tính độ dài GI,AG.
Bài 9. Cho ∆ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm. G.
Tính độ dài GM.
Bài 10. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng
minh AG ⊥ BC.
Bài 11. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết AG = BG = CG.
Chứng minh ∆ABC đều.
Bài 12. Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung
điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm A, G, D thẳng hàng
b) BE < CF
c) AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
Bài 14. Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD
= HA. Trên tia đối của tia CBlấy điểm E sao cho CE = CB
a) Chứng minh rằng C là trọng tâm của ∆ ADE
b) Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE// HM.
Bài 15. Cho ∆ ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Vẽ BH và CK vuông góc đường thẳng
AO. Cho biết các tam giác AOB, BOC, COA có diện tích bằng nhau, chứng minh rằng:
a) BH = CK
b) O là trọng tâm của ∆ ABC
