Đáp án:
$B.\ \dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $\widehat{BAD}= 120^\circ$
$\Rightarrow \widehat{BAC} =\widehat{DAC}= 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle ABC,\ ACD$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow\begin{cases}BD = a\\AO = OC = \dfrac{a\sqrt3}{2}\\BO = OD = \dfrac a2\end{cases}$
Ta lại có:
$SO\perp (ABCD)$
$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp AC\\SO\perp BD\end{cases}$
Bên cạnh đó: $AC\perp BD$
Do đó: $SO;\ AC;\ BD$ đôi một vuông góc tại $O$
Chọn hệ trục toạ độ sao cho:
$O(0;0;0),\ A\left(0;-\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right);\ B\left(\dfrac a2;0;0\right);\ CA\left(0;\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right);\ D\left(-\dfrac a2;0;0\right);\ S(0;0;a)\quad (a>0)$
$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{SB}= \left(\dfrac a2;0;-a\right)\\\overrightarrow{BC} = \left(-\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)\end{cases}$
$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{BC}\right]= \left(2\sqrt3;2;\sqrt3\right)$ là $VTPT$ của $(SBC)$
$\Rightarrow (SBC): 2\sqrt3x + 2y + \sqrt3(z - a)= 0$
$\Rightarrow d(O;(SBC))=\dfrac{\left|- a\sqrt3\right|}{\sqrt{\left(2\sqrt3\right)^2 + 2^2 + \left(\sqrt3\right)^2}}= \dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
