Đáp án:
$V_{ABC.A'B'C'} =\dfrac{a^3\sqrt{13}}{2}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$A'G \perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(AA';(ABC))} = \widehat{A'AG} = 60^o$
$\Rightarrow \begin{cases}A'G = AA'.\sin60^o = \dfrac{2a\sqrt{13}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{2a\sqrt{39}}{6}\\AG = AA'.\cos60^o = \dfrac{2a\sqrt{13}}{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt{13}}{3}\end{cases}$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM = \dfrac{3}{2}AG = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{3} = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Mặt khác:
$ΔABC$ vuông tại $B$ có: $\widehat{C} = 60^o$
$\Rightarrow AB = BC.\tan60^o = BC\sqrt3$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AM^2 = BM^2 + AB^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{13a^2}{4} = \dfrac{BC^2}{4} + 3BC^2$
$\Leftrightarrow \dfrac{13a^2}{4} = \dfrac{13BC^2}{4}$
$\Leftrightarrow BC = a$
$\Rightarrow AB = a\sqrt3$
$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt3.a = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Do đó:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.A'G = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{2a\sqrt{39}}{6}=\dfrac{a^3\sqrt{13}}{2}$
