Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\left( 1 \right)$
Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta > 0\\
\Leftrightarrow {\left( { - \left( {m - 1} \right)} \right)^2} - 4.1.\left( {m + 2} \right) > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 6m - 7 > 0\\
\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 7} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 7\\
m < - 1
\end{array} \right.\left( 2 \right)
\end{array}$
Theo ĐL Viet ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m - 1\\
{x_1}{x_2} = m + 2
\end{array} \right.$
Để ${x_1},{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2(3)$
Lại có:
Để $\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} > 1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} > 1\\
\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {m + 2} \right) - {\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow - 8m - 7 > 0\\
\Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 7}}{8}(3)
\end{array}$
Từ $(1),(2),(3)$ $ \Rightarrow m < \dfrac{{ - 7}}{8};m \ne - 2$
Vậy $m < \dfrac{{ - 7}}{8};m \ne - 2$ thỏa mãn.
