Đáp án: A
Giải thích các bước giải:
Gọi D là trung điểm của AB.
Ta có:
$d(I,(SAB))=\dfrac{1}{2}.d(C,(SAB))=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}$(*)
Lại có:
Do D là trung điểm của AB suy ra DH là đường trung bình của tam giác ABC.
$\to DH\perp AB=D; DH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a}{2}$
Mà $SH\perp (ABC)\to SH \perp AB\to AB\perp (SHD)\to AB\perp SD\\
\to ((SAB),(ABC))=(SD,DH)=\widehat{SDH}=60^o\\
\to SD=\dfrac{DH}{cos60^o}=a; SH=DH.tan60^o=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có: $SD\perp AB=D$ mà D là trung điểm của AB suy ra tam giác SAB cân tại S
$\to S_{SAB}=\dfrac{1}{2}.SD.AB=AB.\dfrac{a}{2}$(1)
Lại có: $V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}.AB$(2)
Thay (1),(2) vào (*) ta có: $d(I,(SAB))=\dfrac{1}{2}\dfrac{3\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}.AB}{AB.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
Vậy $d(I,(SAB))=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
