Đáp án:
`a,`
`text{Xét ΔAHB và ΔAHC có :}`
`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`
`text{AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`
`text{AH chung}`
`->` `text{ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)}`
$\\$
`->` `text{BH = CH (2 cạnh tương ứng)}`
`text{hay H là trung điểm của BC}`
$\\$
$\\$
$b,$
`text{Vì CE//AB}`
`-> hat{BAM} = hat{MCE}` `text{(2 góc so le trong)}`
`text{Xét ΔBAM và ΔECM có :}`
`text{AM = CM (Vì M là trung điểm của AC)}`
`hat{BAM} = hat{MCE}` `text{(chứng minh trên)}`
`hat{AMB} = hat{CME}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`
`->` `text{ΔBAM = ΔECM (góc - cạnh - góc)}`
$\\$
`->` `text{AB = CE (2 cạnh tương ứng)}`
`text{mà AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`
`->` `text{CE =AC (= AB)}`
`->` `text{ΔACE cân tại C}`
$\\$
$\\$
$c,$
`text{Ta có : H là trung điểm của BC}`
`->` `text{AH là đường trung tuyến của ΔABC}`
`text{Ta có : M là trung điểm của AC}`
`->` `text{BM là đường trung tuyến của ΔABC}`
$\\$
`text{Xét ΔABC có :}`
`text{AH là đường trung tuyến}`
`text{BM là đường trung tuyến}`
`text{AH cắt BM tại I}`
`->` `text{I là trọng tâm của ΔABC}`
$\\$
$\\$
$d,$
`text{Vì ΔBAM = ΔECM (chứng minh trên)}`
`->` `text{ME = MB (2 cạnh tương ứng)}`
`-> BM = 1/2 BE`
`text{Vì I là trọng tâm của ΔABC}`
`-> BI = 2/3 BM`
`text{mà}` `BM = 1/2 BE`
`-> BI = 2/3 . 1/2BE`
`-> BI = 1/3 BE`
`-> BE = 3 BI`
$\\$
`text{Áp dụng BĐT Δ cho ΔBAE có :}`
`AB + AE > BE`
`text{mà BE = 3BI}`
`-> AB + AE > 3BI`
