Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bài 8:

$x=\sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}}$

${{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}}+\sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}} \right)}^{2}}$

${{x}^{2}}={{\left( \sqrt{a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}} \right)}^{2}}+2\sqrt{\left( a+\sqrt{{{a}^{2}}-1} \right)\left( a-\sqrt{{{a}^{2}}-a} \right)}+{{\left( \sqrt{a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}} \right)}^{2}}$

${{x}^{2}}=a+\sqrt{{{a}^{2}}-1}+2\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}-1} \right)}^{2}}}+a-\sqrt{{{a}^{2}}-1}$

${{x}^{2}}=2a+2\sqrt{{{a}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-1 \right)}$

${{x}^{2}}=2a+2\sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}+1}$

${{x}^{2}}=2a+2$

$\to a=\frac{{{x}^{2}}-2}{2}$

$N={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+4a+2021$

$N={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\left( \frac{{{x}^{2}}-2}{2}+1 \right)x+4\left( \frac{{{x}^{2}}-2}{2} \right)+2021$

$N={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\left( \frac{{{x}^{2}}-2+2}{2} \right)x+2\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2021$

$N={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-2\left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)x+2{{x}^{2}}-4+2021$

$N={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4+2021$

$N=2017$

Bài 7c)

Ta có $AM//CH//BN$(cùng vuông góc với $AB$)

$\to \frac{MC}{NC}=\frac{AH}{BH}$ (định lý ta-let trong hình thang $AMNB$)

Mà:

$MC=AM$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$NC=BN$(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\to \frac{AM}{BN}=\frac{AH}{BH}$

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta BHN$ có:

$\widehat{HAM}=\widehat{HBN}=90{}^\circ $

$\frac{AM}{BN}=\frac{AH}{BH}$ (cmt)

$\to \Delta AHM\sim\Delta BHN$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{BHN}$ (2 góc tương ứng)

Mà:

$\widehat{AHM}+\widehat{MHC}=90{}^\circ \,\left( CH\bot AB \right)$

$\widehat{BHN}+\widehat{NHC}=90{}^\circ \,\left( CH\bot AB \right)$

$\to \widehat{MHC}=\widehat{NHC}$

$\to HC$ là tia phân giác $\widehat{MHN}$