Đặt $sinx+cosx=t$, $t∈[-\sqrt[]{2};\sqrt[]{2}]$, ta có:
$t^2=(sinx+cosx)^2$
$=1+2sinxcosx=1+sin2x$
$→ sin2x=t^2-1$
Ta có phương trình sau khi biến đổi:
$y=\dfrac{t+1}{\sqrt[]{t^2+1}}$
$y'=\dfrac{1-t}{\sqrt[]{(t^2+1)^3}}$
$y'=0 ↔ t=1$
Lập bảng biến thiên, từ bảng biến thiên suy ra:
GTLN là: $M=y(1)=\sqrt[]{2}$
GTNN là: $m=y(-\sqrt[]{2})=\dfrac{-\sqrt[]{6}+\sqrt[]{3}}{3}$
Vậy $M+\sqrt[]{3}m$
$=\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}.\dfrac{-\sqrt[]{6}+\sqrt[]{3}}{3}$
$=1$
