Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang là $y=\dfrac{2m-1}{m}$, tiệm cận đứng là $x=\dfrac{1}{m}$
+) TH1: Xét $I$ là tâm đối xứng của hàm số bậc nhất trên bậc nhất với $I(\dfrac{1}{m};\dfrac{2m-1}{m})$
→ $\dfrac{2m-1}{m}=1$ và $\dfrac{1}{m}=1 → m=1$ (thỏa mãn)
+) TH2: Đồ thị $(C)$ là đường thẳng $→ m=0$ (thỏa mãn)
Khi đó $(C)$ có vô số tâm đối xứng.