`a)` Vì $I$ đối xứng với $H$ qua $AB$ (gt)
`=>AB` là đường trung trực của $HI$
`=>AH=AI; BH=BI`
Xét $∆ABH$ và $∆ABI$ có:
`\qquad AB` là cạnh chung
`\qquad AH=AI`
`\qquad BH=BI`
`=>∆ABH=∆ABI` (c-c-c) (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $K$ đối xứng với $H$ qua $AC$ (gt)
`=>AC` là đường trung trực của $HK$
`=>AH=AK`
Mà `AH=AI` (câu a)
`=>AK=AI`
`=>∆AKI` cân tại $A$ (đpcm)
$\\$
`c)` Vì $AH=AI$ (câu a)
`=>∆AHI` cân tại $A$
Mà $AB$ là đường trung trực của $HI$
`=>AM` là đường trung trực của $HI$
`=>AM` vừa là đường phân giác của `\hat{IAH}`
`=>\hat{IAH}=2\hat{MAH}`
$\\$
Gọi $N$ là giao điểm của $HK$ và $AC$
Vì $AH=AK$ (câu b)
`=>∆AHK` cân tại $A$
Mà $AC$ là đường trung trực của $HK$ (câu b)
`=>AN` là đường trung trực của $HK$
`=>AN` vừa là đường phân giác của `\hat{KAH}`
`=>\hat{KAH}=2\hat{NAH}`
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{KAI}=\hat{KAH}+\hat{IAH}`
`=2\hat{NAH}+2\hat{MAH}`
`=2(\hat{NAH}+\hat{MAH})=2\hat{NAM}=2\hat{BAC}`
Vậy `\hat{KAI}=2\hat{BAC}` (đpcm)
