Giải thích các bước giải:
a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to AB\perp OB, AC\perp OC$
$\to \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o$
$\to ABOC$ nội tiếp
b.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to OA$ là phân giác $\widehat{BOC}$
$\to \widehat{AOC}=\widehat{AOB}=\dfrac12\widehat{BOC}$
$\to \widehat{BIC}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$
c.Vì $E$ là trung điểm $MN\to OE\perp ME\to OE\perp AE\to\widehat{AEO}=\widehat{ABO}=90^o$
$\to ABEO$ nội tiếp
$\to A,B,E,O,C$ cùng thuộc một đường tròn
$\to \widehat{AEC}=\widehat{AOC}=\widehat{BIC}\to BI//ME\to BI//MN$
d.Gọi $AO\cap BC=H$
Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$
Ta có $BH\perp AO, AB\perp OB$
$\to OB^2=OH.OA\to R^2=OH.2R\to OH=\dfrac12R$
$\to AH=\dfrac32R$
$\to BH^2=HA.HO=\dfrac34R^2\to BH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Khi quay $\Delta ABC $ quanh cạnh $AO$ ta được hình chóp có đường cao $AH=\dfrac32R,$ bán kính đáy $r=BH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
$\to$Thể tích hình chóp vừa sinh ra là:
$V=\pi r^2\cdot AH=\pi\cdot\dfrac{3R^2}{4}\cdot \dfrac32R=\dfrac{27\pi R^3}{8}$
$d_2.$Vì $BI//AN\to OE\perp BI$
Gọi $OE\cap BI=D\to D$ là trung điểm BI
Gọi $AO\cap (O)=F$
Vì $AO=2R\to F$ là trung điểm AO
Mà $\Delta ABO$ vuông tại $B\to BF=FO=FA=\dfrac13AO=R$
$\to \Delta BOF$ đều
$\to \widehat{BOF}=60^o\to \widehat{AOC}=60^o\to \widehat{BAC}=60^o,\widehat{BEC}=\widehat{BOC}=120^o$
$\to \widehat{BIE}=\widehat{AOC}=60^o,\widehat{BEI}=180^o-\widehat{BEC}=60^o$
$\to BEI$ đều
Mà $ED\perp BI\to DB=\dfrac12BI$
Gọi $BI=x\to DB=\dfrac12x, ED=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Mà $BD^2+DO^2=OB^2$
$\to (\dfrac12x)^2+(DE+EO)^2=R^2$
$\to\dfrac{x^2}{4}+(\dfrac{x\sqrt{3}}{2}+\dfrac{R}{2})^2=R^2$
$\to x=\dfrac{R\left(\sqrt{15}-\sqrt{3}\right)}{4}$
