Do $xy=1$ nên ta có:
$\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2xy}}{{x - y}} = x - y + \dfrac{2}{{x - y}}$
Vì $x>y\Rightarrow x-y>0$ nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta được:
$x - y + \dfrac{2}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{2}{{x - y}}} = 2\sqrt 2 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} xy = 1\\ x - y = \dfrac{2}{{x - y}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 1\\ {\left( {x - y} \right)^2} = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {xy = 1}\\ {x - y = \dfrac{2}{{x - y}}} \end{array}} \right. \Rightarrow (x,y) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2}} \right) \end{array}$
