Đáp án:

Bài 1:

a) $(x;y;z)=(1;2;3)$

b) $(x;y;z)=(8;4;2)$

Bài 2:

$(x_1;x_2;x_3;x_4)=(1;2;3;4)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\rm Bài\,\,1:\\ a)\quad \begin{cases}x +y + z = 6\\2x + y -z = 1\\3x - y +z = 4\end{cases}\qquad (*)\\ A = \left(\matrix{1&1&1\cr2&1&-1\cr 3&-1&1}\right)\\ \overline{A} = \left(\matrix{1&1&1&6\cr2&1&-1&1\cr 3&-1&1&4}\right)\\ \text{Biến đổi sơ cấp theo hàng:}\\ \qquad \quad \quad\,\,\, \left(\matrix{1&1&1&6\cr2&1&-1&1\cr 3&-1&1&4}\right)\\ \xrightarrow{r_2 - 2r_1 \longrightarrow r_2}\left(\matrix{1&1&1&6\cr0&-1&-3&-11\cr 3&-1&1&4}\right)\\ \xrightarrow{r_3 - 3r_1 \longrightarrow r_3}\left(\matrix{1&1&1&6\cr0&-1&-3&-11\cr 0&-4&-2&-14}\right)\\ \xrightarrow{r_3 - 4r_2 \longrightarrow r_3}\left(\matrix{1&1&1&6\cr0&-1&-3&-11\cr 0&0&10&30}\right)\\ \Rightarrow r(A) = r(\overline{A})=3\\ \Rightarrow \text{Hệ có nghiệm duy nhất}\\ \text{Khi đó:}\\ (*) \Leftrightarrow \begin{cases}x + y + z = 6\\\,\,\, -y - 3z = -11\\\qquad \,\,\,10z = 30 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 1\\y= 2\\z = 3\end{cases}\\ \text{Vậy hệ có nghiệm duy nhất là}\,\,(x;y;z)=(1;2;3)\\ b)\quad \begin{cases}x - 6y +8z =0\\3x + y -5z =18\\2x + 4y - 3z = 26\end{cases}\qquad (**)\\ A = \left(\matrix{1&-6&8\cr3&1&-5\cr 2&4&-3}\right)\\ \overline A = \left(\matrix{1&-6&8&0\cr3&1&-5&18\cr 2&4&-3&26}\right)\\ \text{Biến đổi sơ cấp theo hàng:}\\ \qquad \qquad \quad \left(\matrix{1&-6&8&0\cr3&1&-5&18\cr 2&4&-3&26}\right)\\ \xrightarrow{r_2 - 3r_2 \longrightarrow r_2}\left(\matrix{1&-6&8&0\cr0&19&-29&18\cr 2&4&-3&26}\right)\\ \xrightarrow{r_3 - 2r_1 \longrightarrow r_3}\left(\matrix{1&-6&8&0\cr0&19&-29&18\cr 0&16&-19&26}\right)\\ \xrightarrow{r_3 - \tfrac{16}{19}r_2 \longrightarrow r_3}\left(\matrix{1&-6&8&0\cr0&19&-29&18\cr 0&0&\dfrac{103}{19}&\dfrac{206}{19}}\right)\\ \Rightarrow r(A) = r(\overline{A})=3\\ \Rightarrow \text{Hệ có nghiệm duy nhất}\\ \text{Khi đó:}\\ (**) \Leftrightarrow \begin{cases}x - 6y + 8z = 0\\\,\,\,\,\,19y -29z = 18\\\qquad \,\,\,\,\dfrac{103}{19}z = \dfrac{206}{19} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 8\\y = 4\\z = 2\end{cases}\\ \text{Vậy hệ có nghiệm duy nhất là}\,\,(x;y;z)=(8;4;2)\\ \rm Bài\,\,2:\\ \quad \begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 = 6\\x_2 + x_3 + x_4 = 9\\x_3 + x_4 + x_1 = 8\\x_4 + x_1 + x_2 = 7\end{cases}\qquad (***)\\ A = \left(\matrix{1&1&1&0\cr0&1&1&1\cr 1&0&1&1\cr 1&1&0&1}\right)\\ \overline{A} = \left(\matrix{1&1&1&0&6\cr0&1&1&1&9\cr 1&0&1&1&8\cr 1&1&0&1&7}\right)\\ \text{Biến đổi sơ cấp theo hàng:}\\ \qquad \qquad \left(\matrix{1&1&1&0&6\cr0&1&1&1&9\cr 1&0&1&1&8\cr 1&1&0&1&7}\right)\\ \xrightarrow {\begin{array}{l}r_3 - r_2 \longrightarrow r_3\\r_4 - r_2 \longrightarrow r_4\end{array}}\left(\matrix{1&1&1&0&6\cr0&1&1&1&9\cr 0&-1&0&1&2\cr 0&0&-1&1&1}\right)\\ \xrightarrow{r_3 + r_2 \longrightarrow r_3}\left(\matrix{1&1&1&0&6\cr0&1&1&1&9\cr 0&0&1&2&11\cr 0&0&-1&1&1}\right)\\ \xrightarrow{r_4 + r_3 \longrightarrow r_4}\left(\matrix{1&1&1&0&6\cr0&1&1&1&9\cr 0&0&1&2&11\cr 0&0&0&3&12}\right)\\\Rightarrow r(A) = r(\overline{A})=4\\ \Rightarrow \text{Hệ có nghiệm duy nhất}\\ \text{Khi đó:}\\ (***) \Leftrightarrow \begin{cases}x_1 +x_2 + x_3\quad =6\\\quad x_2 +x_3 +x_4 =9\\\,\,\,\,\qquad x_3 +2x_4 = 11\\\qquad \qquad \,\,\,\,\,3x_4 =12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 =1\\ x_2 = 2\\x_3 = 3\\x_4 = 4\end{cases}\\ \text{Vậy hệ có nghiệm duy nhất là}\,\,(x_1;x_2;x_3;x_4)=(1;2;3;4)\\ \end{array}$