Đáp án: LimSn = 2
Giải thích các bước giải: Với X1 = 1/2 > 0
Ta có :
X(n + 1) = Xn² + Xn > Xn ⇒ X(n + 1) + 1 > Xn + 1 > X1 + 1 = 3/2
X(n + 1) = Xn² + Xn = Xn(Xn + 1) > 0 ⇔ X(n + 1)/Xn = Xn + 1
X2/X1 = X1 + 1 = 3/2
X3/X2 = X2 + 1 > 3/2
X4/X3 = X3 + 1 > 3/2
......................................
Xn/X(n - 1) = X(n - 1) + 1 > 3/2
X(n + 1)/Xn = Xn + 1 > 3/2
Nhân tất cả lại vế với vế:
X(n + 1)/X1 = (X1 + 1)(X2 + 1)....(Xn + 1) > (3/2)^n
⇒ X(n + 1) > X1.(3/2)^n = (1/2).(3/2)^n
⇒ LimX(n + 1) = ∞ khi n → ∞
Mặt khác:
1/X(n + 1) = 1/Xn(Xn + 1) = 1/Xn - 1/(Xn + 1)
Do đó:
1/X2 = 1/X1 - 1/(X1 + 1)
1/X3 = 1/X2 - 1/(X2 + 1)
1/X4 = 1/X3 - 1/(X3 + 1)
................................................
1/Xn = 1/X(n - 1) - 1/(X(n - 1) + 1)
1/X(n + 1) = 1/Xn - 1/(Xn + 1)
Cộng tất cả lại vế với vế:
1/X(n + 1)= 1/X1 - Sn
⇒ Sn = 1/x1 - 1/X(n + 1) = 2 - 1/X(n + 1)
⇒ LimSn = Lim[2 - 1/X(n + 1)] = 2 khi n → ∞
