Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔABM` và `ΔADM` có :
`AM` chung
`AB=AD` (gt)
`hat{BAM}=hat{DAM}` (gt)
`-> ΔABM = ΔADM` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`b,`
Do `ΔABM = ΔADM` (cmt)
`-> BM = DM` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔMBD` cân tại `M`
$\\$
`c,`
Có : `hat{B}=90^o` (gt)
`-> CB⊥AK`
`-> CB` là đường cao của `ΔAKC`
Do `ΔABM = ΔADM` (cmt)
`-> hat{B}=hat{ADM}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{B}=90^o` (gt)
`-> hat{ADM}=90^o`
`-> KD⊥AC`
`-> KD` là đường cao của `ΔAKC`
Xét `ΔAKC` có :
`KD` là đường cao (cmt)
`CB` là đường cao (cmt)
`KD` cắt `CB` tại `M`
`-> M` là trực tâm của `ΔAKC`
`-> AM` là đường cao của `ΔAKC`
`-> AM⊥KC`
$\\$
`d,`
Có : `hat{B}=hat{ADM}` (cmt)
hay `hat{ABC}=hat{ADM}`
Có : `hat{ADM} + hat{MDC}=180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{ADM}=hat{ABC}` (cmt)
`-> hat{ABC} + hat{MDC}=180^o`
`-> hat{MDC}=180^o - hat{ABC}`
Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔABC` có :
`hat{A} + hat{DCM} + hat{ABC} = 180^o`
`-> hat{A} + hat{DCM}=180^o - hat{ABC}`
mà `hat{MDC} = 180^o - hat{ABC}` (cmt)
`-> hat{A} + hat{DCM}=hat{MDC}`
`-> hat{DCM} < hat{MDC}`
Xét `ΔMDC` có :
`hat{DCM} < hat{MDC}` (cmt)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`DM < CM`
mà `BM =DM` (cmt)
`-> BM < CM`
