$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x^2-5x+4}{5-\sqrt{6x+1}}$
$=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(x-4)(x-1)(5+\sqrt{6x+1}) }{25-6x-1}$
$=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(x-4)(x-1)(5+\sqrt{6x+1}) }{-6(x-4)}$
$=\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(x-1)(5+\sqrt{6x+1})}{-6}$
$=\dfrac{(4-1)(5+5)}{-6}$
$=-5$