Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:
$ab=BH.HC=AH^2\Rightarrow \sqrt{ab}=AH$
Lại có $a+b=BH+HC=BC\Rightarrow \dfrac{a+b} 2=\dfrac{BC} 2$
Kẻ trung tuyến AM của tam giác vuông ABC. Theo định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ta có $AM=BM=MC=\dfrac{BC} 2\Rightarrow AM=\dfrac{a+b}{2}$
Lại có $AH\le AM$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Vậy $\sqrt{ab}\le \dfrac{a+b} 2$. Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv M$
