Lời giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}BE\perp AC\\CF\perp AB\end{cases}(gt)$
$\Rightarrow \widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$
hay $\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 180^\circ$
Xét tứ giác $AEHF$ có:
$ \widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 180^\circ\quad (cmt)$
Do đó $AEHF$ là tứ giác nội tiếp
b) Xét tứ giác nội tiếp $AEHF$ có:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$
$\widehat{AEH}$ và $\widehat{AFH}$ cùng nhìn cạnh $AH$
$\Rightarrow AH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$
$\Rightarrow$ Trung điểm $I$ của $AH$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$
$\Rightarrow IE = IH = R\qquad (1)$
$\Rightarrow \triangle IEH$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IEH} = \widehat{IHE}$
mà $\widehat{IHE} = \widehat{DHB}$ (đối đỉnh)
nên $\widehat{IEH} = \widehat{DHB}$
Ta lại có:
$\triangle BEC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow ME = MB = MC = \dfrac12BC$
$\Rightarrow \triangle MEB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MEB} = \widehat{MBE} = \widehat{DBH}$
Khi đó:
$\quad \widehat{MEI} = \widehat{MEB} + \widehat{IEH}$
$\Leftrightarrow \widehat{MEI} = \widehat{DBH} + \widehat{DHB}$
$\Leftrightarrow \widehat{MEI} = 90^\circ\quad (\triangle DBH$ vuông tại $D)$
$\Leftrightarrow IE\perp ME\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow ME$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được: $ MF$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$
