Ta có:
$\dfrac{6}{x+1} . \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{6x - 6}{3x+3}$
Để : $\dfrac{6x-6}{3x+3}$ $∈$ $Z$ thì $6x-6 \vdots 3x+3$
$⇔ 6x-6 - 2(3x+3) \vdots 3x+3$
$⇔ 6x- 6 - 6x - 6 \vdots 3x+3$
$⇔ -12 \vdots 3x+3$
$⇒$ $3x+3$ $∈$ Ư($12$)={$±1;±2;±3;±4;±6;±12$}
Mà $3x+3$ $\vdots$ $3$
$⇒$ $3x+3$ $∈$ {$-12;-6;-3;3;6;12$}
$⇔$ $x$ $∈$ {$-5;-3;-2;0;1;3$}
Vậy $x$ $∈$ {$-5;-3;-2;0;1;3$} thì tích $\dfrac{6}{x+1}$ và $\dfrac{x-1}{3}$ là một số nguyên.