a) * Xét 2 tam giác vuông ADB và AEC có: $\widehat{A}$ chung
⇒ΔADB đồng dạng ΔAEC (g-g)
⇒$\frac{AD}{AE}=$ $\frac{AB}{AC}$ (các cạnh tương ứng tỷ lệ)
⇔AD.AC=AE.AB
* Ta có:
AD.AC=AE.AB⇔ $\frac{AD}{AB}=$ $\frac{AE}{AC}$
Xét 2 tam giác ADE và ABC có:
$\widehat{A}$ chung
$\frac{AD}{AB}=$ $\frac{AE}{AC}$
Suy ra ΔADE đồng dạng ΔABC (c-g-c)
⇒$\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ (2 góc tương ứng)
b) Kẻ AH cắt BC tại F
ΔABC có 2 đường cao BD và CF cắt nhau tại H
⇒AH là đường cao còn lại
⇒AH⊥BC
Xét 2 tam giác vuông ABF và CBE có:$\widehat{ABC}$ chung
Suy ra: ΔABF đồng dạng ΔCBE (g-g)
⇒$\frac{AB}{BC}=$ $\frac{BF}{BE}$
⇒ $BE.BA=BF.BC$ (1)
Tương tự: ΔAFC đồng dạng ΔBDC (g-g)
⇒$\frac{AC}{BC}=$ $\frac{CF}{DC}$
⇒ $CD.CA=CF.BC$ (2)
Công (1) và (2) ta có: $BE.BA=CD.CA=(BF+CF).BC=BC^2$
c) Ta có:
$\widehat{ABC}+\widehat{ECB}=90^o$
$\widehat{ADE}+\widehat{BDE}=90^o$
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ suy ra: $\widehat{ECB}=\widehat{BDE}$
Xét 2 tam giác HED và HBC có:
$\widehat{ECB}=\widehat{BDE}$
$\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$
Suy ra: ΔHED đồng dạng ΔHBC (g-g-g)
d) Khi ABC đều, D và E là trung điểm của AC và AB
⇒DE=1/2 BC
⇒$S_{HED}=\frac{1}{4}S_{HCB}$
và đường cao kẻ từ H của ΔHCB =2/3 đường cao kẻ từ D = 1/3 đường cao kẻ từ A
⇒$S_{HCB}=\frac{1}{3}S_{ABC}$
⇒$S_{HED}=\frac{1}{12}S_{ABC}$
