Đáp án:
$\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {DE} = - \overrightarrow {AF} $; $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AF} $
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$
$\to EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to EF//BC$
Khi đó:
Áp dụng ĐL Talets ta có:
$\dfrac{{IF}}{{BD}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} = \dfrac{{IE}}{{DC}}$
$ \Rightarrow IF = IE \Rightarrow I$ là trung điểm của $EF$.
+) $I$ là trung điểm của $EF$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$
+) Ta có:
Áp dụng ĐL Talets ta có:
$\dfrac{{AI}}{{AD}} = \dfrac{{AF}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow I$ là trung điểm của $AD$
Lại có:
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \dfrac{2}{3}.2.\overrightarrow {AI} = \dfrac{4}{3}.\overrightarrow {AI} $
$ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right) = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$
+) Ta có:
$E,D$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$
$\to DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to DE=\dfrac{AB}{2}$
$ \Rightarrow \overrightarrow {DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {FA} = - \overrightarrow {AF} $
+) Ta có:
$\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EC} = - \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AF} $
Vậy $\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right)$; $\overrightarrow {DE} = - \overrightarrow {AF} $; $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AF} $
