Đáp án:
\[24\left( {c{m^2}} \right)\]
Giải thích các bước giải:
Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại A nội tiếp đường tròn \(\left( {O;\,\,5cm} \right)\)
Ta thấy: \(\widehat {BAC}\) nhìn cạnh huyền BC dưới một góc \(90^\circ \) nên tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Do đó, \(BC = 2R = 2.5 = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2cm, giả sử \(AC = AB + 2\)
Áp dụng định lí Pi - ta - go ta có:
\(\begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + {\left( {AB + 2} \right)^2} = {10^2}\\
\Leftrightarrow A{B^2} + A{B^2} + 4AB + 4 = 100\\
\Leftrightarrow 2A{B^2} + 4AB - 96 = 0\\
\Leftrightarrow A{B^2} + 2AB - 48 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {AB + 8} \right)\left( {AB - 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
AB = - 8\\
AB = 6
\end{array} \right. \Rightarrow AB = 6\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow AC = 8\,\,\left( {cm} \right)
\end{array}\)
Diện tích tam giác vuông đã cho là \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)
