Đáp án: $(x,y,z)\in\{(0,0,0), (\dfrac12,\dfrac12,\dfrac12)\}$
Giải thích các bước giải:
Nếu $xyz=0\to x=0$ hoặc $y=0$ hoặc $z=0$
Thay vào hệ
$\to x=y=z=0$
Nếu $xyz\ne 0$
Ta có:
$\begin{cases} x=4y^2(1-x)\\y=4z^2(1-y)\\ z=4x^2(1-z)\end{cases}$
$\to \begin{cases} x=4y^2-4y^2x\\y=4z^2-4z^2y\\ z=4x^2-4x^2z\end{cases}$
$\to \begin{cases} x+4y^2x=4y^2\\y+4z^2y=4z^2\\ z+4x^2z=4x^2\end{cases}$
$\to \begin{cases} x(1+4y^2)=4y^2\\y(1+4z^2)=4z^2\\ z(1+4x^2)=4x^2\end{cases}(*)$
Nhân vế với vế
$\to xyz(1+4x^2)(1+4y^2)(1+4z^2)=64x^2y^2z^2$
$\to (1+4x^2)(1+4y^2)(1+4z^2)=64xyz$
Ta thấy $(1+4x^2)(1+4y^2)(1+4z^2)>0\to xyz>0$
Mặt khác từ hệ $(*)\to x,y,z>0$
$\to (1+4x^2)(1+4y^2)(1+4z^2)\ge 4x\cdot 4y\cdot 4z=64xyz$
$\to$Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\dfrac12$
